我们将平面上直线的概念推广到任意曲面。我们已经知道空间中曲面可以建立自然的Fresnet标架。考虑到当前的曲线落在曲面上，我们利用曲面的法向量$\vec{n}$代替曲率向量$\vec{\beta}$，建立新的标架场，即

$$\begin{align} \vec{e}_{1} & =\frac{d\vec{r}}{ds}=\alpha(s) \\ \vec{e}_{3} & =\vec{n}(s) \\ \vec{e}_{2} & = \vec{e}_{3}\times \vec{e}_{1} \end{align}$$

则运动方程为

$$\begin{align} \frac{d\vec{r}(s)}{ds} & = \vec{e}_{1} \\ \left(\begin{matrix} \frac{d\vec{e}_{1}}{ds} \\ \frac{d\vec{e}_{2}}{ds}\\ \frac{d\vec{e}_{3}}{ds} \end{matrix}\right) & = \left(\begin{matrix} 0 & \kappa_{g} & \kappa_{n} \\ -\kappa_{g} & 0 & \tau_{g} \\ -\kappa_{n} & -\tau_{g} & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \vec{e}_{1} \\ \vec{e}_{2} \\ \vec{e}_{3} \end{matrix}\right) \end{align}$$

$\kappa_{n}=\vec{r}''\cdot \vec{n}$为曲面在该点沿着该方向的法曲率，$\kappa_{g}=\vec{r}''\cdot \vec{e}_{2}=\vec{r}''\cdot(\vec{n}\times \vec{r}')$为曲面$S$上曲线的测地曲率（$r''$为曲率向量，点乘了$e_{2}$这个在曲面上，和曲线方向垂直的向量）。

$$\tau _g=\frac{d\vec{e}_{2}}{ds}\cdot n=\frac{d(\vec{n}\times \vec{r}'(s))}{ds}\cdot n=\vec{n}\cdot(\vec{n}'\times \vec{r}')$$

为曲线$C$在曲面上的测地挠率。

和自然标架下的$\kappa,\tau$之间的关系:首先$\kappa_{g}=\vec{n}\cdot(r'\times r'')=\vec{n}\cdot(\vec{\alpha}\times \kappa\vec{\beta})=\kappa \vec{n}\cdot\vec{\gamma}=\kappa \cos\theta$，$\kappa_{n}=\kappa\vec{\beta} \cdot \vec{n}$。运动方程中还能得到

$$\vec{\beta}=\frac{d\vec{e}_{1}}{ds}=\vec{r}''=\kappa_{g}\vec{e}_{2}+\kappa_{n}\vec{n}$$

曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面做保长对应时不变。

计算$\kappa_{g}=\vec{r}''\cdot(\vec{n}\times \vec{r}')$得到：

$$\kappa_{g} = \sqrt{ g } \det\left(\begin{matrix} \frac{du^{1}}{ds} & \frac{d^{2}u^{1}}{ds^{2}} + \Gamma ^{1}_{\alpha\beta} \frac{du^{\alpha }}{ds} \frac{du^{\beta}}{ds} \\ \frac{du^{2}}{ds} & \frac{d^{2}u^{2}}{ds^{2}} + \Gamma ^{2}_{\alpha\beta} \frac{du^{\alpha}}{ds} \frac{du^{\beta}}{ds} \end{matrix}\right)$$

只依赖第一类基本量，得证。此外，测地挠率不是曲面的内蕴几何量，因为其包含第二类基本量$b_{ij}$.

测地线：曲面上测地曲率恒为0的曲线为曲面的测地线。

如果曲面$S$上运动的质点$p$只收到将它约束在曲面上的力的作用，而不受其他外力，则该点的轨迹为曲面上的测地线。为了在一般曲面上求测地线，必须知道曲面上的测地线满足的微分方程。

$$\kappa_{g}\vec{e}_{2}= \left(\frac{ \mathrm d^2 u^{\gamma} }{ \mathrm d s^2 } + \Gamma ^{\gamma}_{\alpha\beta} \frac{ \mathrm d u^{\alpha} }{ \mathrm d s } \frac{ \mathrm d u^{\beta} }{ \mathrm d s } \right) \vec{r}_{\gamma}$$

由于$\vec{r}_{\gamma},\gamma=1,2$之间线性无关，从而$\kappa_{g}\equiv0$等价于如下方程组：

$$\frac{ \mathrm d^2 u^{\gamma} }{ \mathrm d s^2 } + \Gamma ^{\gamma}_{\alpha\beta} \frac{ \mathrm d u^{\alpha} }{ \mathrm d s } \frac{ \mathrm d u^{\beta} }{ \mathrm d s } =0,\qquad\gamma=1,2$$

如果给定初始值$u_{0}^{\alpha},v_{0}^{\alpha}$，则必然存在唯一解满足条件。

短程线：引入另一个参数$t$，$u^{\alpha}(s,t)$，则曲线$C_{t}$的长度为

$$L(C_{t}) = \int _{a}^{b} \sqrt{ g_{\alpha\beta} \frac{du^{\alpha}(s,t)}{ds} \frac{du^{\beta}(s,t)}{ds} } \, ds$$

短程线要求$\frac{dL(C_{t})}{dt}|_{t=0}=0$。不妨令$u^{\alpha}(s,t)=u^{\alpha}(s)+tv^{\alpha}(s)$，推导得到

$$\frac{d^{2}u^{\beta}}{ds^{2}} + \Gamma ^{\beta}_{\gamma\delta} \frac{du^{\gamma}}{ds} \frac{du^{\delta}}{ds}=0$$

测地坐标系和法坐标系

假定在曲面$S$上有依赖一个参数的测地线族$\Sigma$，如果对区域$D\subset S$上的每个点$p$有且仅有一条属于$\Sigma$的测地线经过$p$，则$\Sigma$为曲面$S$上覆盖区域$D$的测地线族。

指数映射

对在$p$点的任意切向量$\vec{v}$，存在唯一测地线$\gamma$经过点$p$且切向量为$\vec{v}$。记该测地线为$\gamma(s)=\gamma(s;\vec{v})$，于是

$$\gamma(0)=p,\gamma'(0)=\vec{v},\left| \gamma'(s) \right| = |\gamma'(0)|=|\vec{v}|$$

记$u^{\alpha}(s)=u^{\alpha}(\gamma(s))$为测地线参数方程，参数$s$与弧长成比例。做变量代换$s=\lambda t$，$\lambda$为常数，$\tilde{\gamma}(t) = \gamma(\lambda t;v)$
则参数方程为$\tilde{u}^{\alpha}(t)=u^{\alpha}(\lambda t)$，从而

$$\frac{d\tilde{u}^{\alpha}(t)}{dt}= \frac{\lambda du^{\alpha}(s)}{ds}, \frac{d^{2}\tilde{u}^{\alpha}(t)}{dt^{2}}+\Gamma ^{\alpha}_{\beta\gamma} \frac{d\tilde{u}^{\beta}}{dt} \frac{d\tilde{u}^{\gamma}}{dt} = 0$$

这说明$\tilde{\gamma}$还是测地线，且$\tilde{\gamma}(0)=p,|\tilde{\gamma}'(0)|=\lambda \left| \gamma'(0) \right|=\lambda \vec{v}$，这说明$\vec{v}$如果成倍增长或缩短，$\gamma$测地线的参数会发生相应的放缩，定义域也有变化。当向量取原点附近充分小的邻域时，对$T_{p}S$上的向量总可以定义映射$\exp:T_{p}S\to S$，使得

$$\exp_{p}(\vec{v}) = \gamma(1;\vec{v}),\forall \vec{v}\in U$$

给出的映射有定义。这时$\text{exp}_{p}$为曲面的指数映射。

假设切空间$T_{p}S$在单位正交标架$\{p;\vec{r}_{1},\vec{r}_{2}\}$下，向量$\vec{v}$可表示为$p$点切空间的展开

$$\vec{v}=v^{1}\vec{r}_{1}|_{p} + v^{2}\vec{r}_{2}|_{p}$$

则我们可以用坐标$(v^{1},v^{2})$来表示沿着该方向的测地线$\gamma(t;\vec{v})$上的$\gamma(1;\vec{v})$的点的坐标。于是我们建立了从$p$点切空间上的坐标系到曲面在该点$p$附近的参数系的转化。这样得到的坐标系称为曲面在点p附近的法坐标系。

曲面$S$在任意一点$p$的附近必有法坐标系$(v^{1},v^{2})$,在此坐标系下从点$p$出发，以$(v^{1},v^{2})$为切向量的测地线的参数方程是

$$v^{1}(t)=t v_{0}^{1},v^{2}(t) = t v_{0}^{2}$$

且曲面$S$的第一类基本量满足

$$\tilde{g}_{11}(p) = \tilde{g}_{22}(p) = 1, \tilde{g}_{12}(p)=\tilde{g}_{21}(p)=0,\tilde{\Gamma}^\gamma_{\alpha\beta}(p) =0$$

因此

$$\frac{ \partial \tilde{g}_{\alpha\beta} }{ \partial v^{\gamma} } =0$$

可以证明，在法坐标系中，沿着方向$\vec{v}$的测地线$\gamma(t;\vec{v})$的参数方程为$v^{1}(t)=tv^{1},v^{2}(t)=tv^{2}$，因为

$$\gamma(t;\vec{v})=\gamma(1,t\vec{v})$$

而$t\vec{v}$在切空间的展开为

$$t\vec{v}=tv^{1}\vec{r}_{1}|_{p}+ tv^{2}\vec{r}_{2}|_{p}$$

如果$v^{1},v^{2}$在切空间构成笛卡尔坐标系，则可以取坐标系$s,\theta$使得

$$v^{1}=s\cos\theta, v^{2}= s\sin\theta$$

这样的坐标系通过指数映射$\exp_{p}$成为该点附近的新参数系，称为测地极坐标系。任意固定一个充分小的$s_{0}>0$，让$\theta$变化，构成的曲线为以$s_{0}$为半径的测地圆。

从点$p$出发的测地线与以$p$点为中心的测地圆彼此正交。

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