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• 6.5 切向量的平行移动

  设在向量$\vec{X}(u^{1},u^{2})$为曲面$S$上的切向量场，则在自然标架下可以表示为

  $$\vec{X} = x^{\alpha}(u^{1},u^{2})\vec{r}_{\alpha}(u^{1},u^{2})$$

  向量在两个很近的点的微分为
  $$\begin{align}

  d\vec{X}(u^{1},u^{2}) & = dx^{\alpha}\vec{r}_{...

• 6.9 Gauss-Bonnet Formula

  假定曲线$C$是有向曲面$S$上的一条由$n$段光滑曲线组成的分段光滑简单曲线，它所包围的面积是曲面$S$的一个单连通区域，则

  $$\oint_{C}\kappa_{g}ds + \iint_{D} Kd\sigma = 2\pi-\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$$

  其中$\kappa_{g}$是曲线$C$的测地曲率，$K$为曲面$S$的Gauss曲率，$\alpha_{i...

• 7.3 E3中的标架族

  在$E^{3}$中取定一个右手单位正交坐标架$\{O;i,j,k\}$， 任意$E^{3}$中的右手标架$\{p;e_{1},e_{2},e_{3}\}$都可以表示成
  $$
  \left(\begin{matrix}
  \vec{OP}\
  e_{1}\
  e_{2}\
  e_{3}\
  \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}
  a_{1}&a_{2} ...

• Bertrand曲线偶

  定义：两条曲线互为曲线偶当且仅当他们之间存在一个对应，且在每对对应点之间都有公共的主法线。

  每个平面曲线都有对偶曲线。例如，$r(s)$为平面曲线，$s$为弧长参数，则

  $$\vec{r}''(s) = \kappa(s)\vec{n}(s)$$

  可以定义$r_{1}(s) = r(s)+\lambda n(s)$, $\lambda$为常数，此时$s$不为$r_{1}$的弧长参数，则$r_...

• 曲率和挠率，Fresnet标架

  设曲线的方程为$\vec{r}(s)$，其中$s$为弧长参数。则曲线曲率为

  $$\kappa(s) = \left\lvert \frac{d\boldsymbol{\alpha}}{ds} \right\rvert = \lvert \mathbf{r}''(s) \rvert$$

  其中$\boldsymbol{\alpha}(s)=d\mathbf{r}/ds$为单位切向量场。且...

• 曲率圆，切触，曲率球

  两曲线在交点$p_{0}$有$n$阶切触：当且仅当前$n$阶导数相同，且$n+1$阶导数开始不同：

  $$r_{1}^{(i)}(0)=r_{2}^{(i)}(0),1\leq i\leq n\qquad r_{1}^{(n+1)}(0) \neq r_{2}^{(n+1)} (0)$$

  曲率圆：以$\mathbf{r}(s_{0}) + \frac{\boldsymbol{\beta}(s_{...

• 曲面论

  自然标架：对于$\vec{r}=\vec{r}(u,v)$本质上是$D\subseteq E^2$到$E^{3}$子集的一个一一映射，且三阶以上连续可微。可以定义自然标架场
  $$
  \vec{r}{u}=\frac{ \partial \vec{r} }{ \partial u } ,\vec{r}{v}=\frac{ \partial \vec{r} }{ \partial v } ,\vec...

• 曲面论基本定理

  曲面标架运动方程
  $$
  \begin{cases}
  \displaystyle\frac{ \partial \vec{r}{\alpha} }{ \partial u^{\beta} } = \Gamma^\gamma{\alpha\beta} \vec{r}{\gamma}+ b{\alpha\beta}\vec{n} \
  \displaystyle \frac{ \partial...

• 未命名

  ...

• 测地曲率，测地线

  我们将平面上直线的概念推广到任意曲面。我们已经知道空间中曲面可以建立自然的Fresnet标架。考虑到当前的曲线落在曲面上，我们利用曲面的法向量$\vec{n}$代替曲率向量$\vec{\beta}$，建立新的标架场，即
  $$\begin{align}

  \vec{e}{1} & =\frac{d\vec{r}}{ds}=\alpha(s) \
  \vec{e}{3} & =\vec{n}(...