两曲线在交点$p_{0}$有$n$阶切触：当且仅当前$n$阶导数相同，且$n+1$阶导数开始不同：

$$r_{1}^{(i)}(0)=r_{2}^{(i)}(0),1\leq i\leq n\qquad r_{1}^{(n+1)}(0) \neq r_{2}^{(n+1)} (0)$$

曲率圆：以$\mathbf{r}(s_{0}) + \frac{\boldsymbol{\beta}(s_{0})}{\kappa(s_{0})}$为中心，以$\frac{1}{\kappa(s_{0})}$ 为半径的圆，它在该点与该曲线具有二阶以上的切触

若一条曲线$C$和一个曲面$\Sigma$相交，同样可以定义切触：设交点$p_{0}$，把曲线$C$上从点$p_{0}$到$p_{1}$的弧长记作$\Delta s$，$p_{1}$距离$\Sigma$最近的点记作$p_{2}$，则当

$$\lim_{ \Delta s \to 0 } \frac{\left(|p_{1}p_{2}| \right)}{\left(\Delta s\right)^n} = 0, \qquad \lim_{ \Delta s \to 0 } \frac{\left(|p_{1}p_{2}|\right)}{(\Delta s)^{n+1}}\neq 0$$

时，称$C$与$\Sigma$切触阶数为$n$。

当$\Sigma$为球面时，我们可以求出最佳切球的圆心和半径，以及一般情形下的切触阶数。设圆心$A$，半径$r=\sqrt{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }$, $\vec{p_{0}A}=a\vec{\alpha}+b \vec{\beta}+c \vec{\gamma}$

$\vec{p_{1}A}=\left( a-s+\frac{\kappa ^{2}s^{3}}{6} \right)\vec{\alpha}+\left( b-\frac{1}{2}\kappa s^{2}-\frac{\kappa'}{6}s^{3} \right)\vec{\beta}+\left( c-\frac{1}{6}\kappa \tau s^{3} \right)\vec{\gamma}+o(s^{3})$

于是

$$\begin{align} |p_{1}A|-\sqrt{ a^{2}+b^{2}+c^{2} } & = \sqrt{ (a+A)^{2}+(b+B)^{2}+(c+C)^{2} }-\sqrt{ a^{2}+b^{2}+c^{2} } \\ & =\frac{2aA+2bB+2cC+A^{2}+B^{2}+C^{2}}{\sqrt{ \dots }+\sqrt{\dots }} \end{align}$$

最终通过选取$a,b,c$可以使得$s^3$及之前的项为0：

$$\begin{cases} a=0 \\ b=\frac{1}{\kappa} \\ c=-\frac{\kappa'}{\kappa ^{2}\tau} \end{cases}$$

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