定义：两条曲线互为曲线偶当且仅当他们之间存在一个对应，且在每对对应点之间都有公共的主法线。

每个平面曲线都有对偶曲线。例如，$r(s)$为平面曲线，$s$为弧长参数，则

$$\vec{r}''(s) = \kappa(s)\vec{n}(s)$$

可以定义$r_{1}(s) = r(s)+\lambda n(s)$, $\lambda$为常数，此时$s$不为$r_{1}$的弧长参数，则$r_{1}$和$r$互为曲线偶。

互为曲线偶的曲线$C_{1},C_{2}$的对应点之间距离是常数，且切线角度是定值。

这里的公共法线指的是位置和方向都相同。

设正则参数曲线的曲率和挠率$\kappa,\tau$都非零，则存在对偶参数曲线当且仅当存在常数$\lambda\neq 0,\nu$,使得

$$\lambda \kappa+\mu \tau=1$$

若曲线$C_{1},C_{2}$之间存在对应，使得$C_{1}$的任意一点切线=$C_{2}$对应点的法线，则$C_{2}$为$C_{1}$的渐伸线，$C_{1}$为$C_{2}$的渐缩线

一个正则参数曲线$C$的参数方程是$r(s)$，$s$为弧长参数，则渐伸线方程为$r(s)+(c-s)\alpha(s)$，其中c为任意常数。渐缩线参数方程为

$$r(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\beta(s) - \frac{1}{\kappa(s)} \left( \tan \int \tau(s) \, ds \right)\gamma(s)$$

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