设曲线的方程为$\vec{r}(s)$，其中$s$为弧长参数。则曲线曲率为

$$\kappa(s) = \left\lvert \frac{d\boldsymbol{\alpha}}{ds} \right\rvert = \lvert \mathbf{r}''(s) \rvert$$

其中$\boldsymbol{\alpha}(s)=d\mathbf{r}/ds$为单位切向量场。且称$d\boldsymbol{\alpha} / ds$为该曲线的曲率向量

考虑$\boldsymbol{\alpha}(s)$构成的曲线$\mathbf{r}=\boldsymbol{\alpha}(s)$称为切线像，此时这条曲线弧长元素不是$s$,而是

$$d\tilde{s}=\left\lvert \frac{d\boldsymbol{\alpha}(s)}{ds} \right\rvert =\kappa(s)ds$$

曲率为切线像弧长元素和切线弧长元素的比。

Fresnet标架

• $\alpha$: 切线 对应为法向量面为法平面
• $\beta$:主法线，切平面
• $\gamma$: 次法线，密切平面
  记$\boldsymbol{\alpha}'(s)$的方向为$\boldsymbol{\beta}(s)$，则

  $$\boldsymbol{\alpha}'(s)=\kappa(s)\boldsymbol{\beta}(s)$$

  $\beta$为主法向量，曲线的单位切向量$\boldsymbol{\alpha}(s)$和主法向量构成了曲线第二个法向量$\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta}$，称为次法向量。这三个方向构成了完全确定的右手单位正交标架，与表示的坐标系选取无关，也不受保持定向参数变换的影响，称作Frenet标架

曲线曲率$|\boldsymbol{\alpha}'(s)|$描述了曲线沿着切线方向转动的快慢，曲线沿着次法向量$\boldsymbol{\gamma}$关于弧长参数$s$的导数长度$\lvert \boldsymbol{\gamma}'(s) \rvert$描述了曲线的密切平面（由$\alpha ,\beta$长成的平面）转动的快慢，刻画了曲线偏离平面曲线的程度，即挠率。

因为$\gamma$为单位向量场，$\boldsymbol{\gamma}'$垂直$\boldsymbol{\gamma}$
同时 $\boldsymbol{\gamma}'=(\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta})'= \boldsymbol{\alpha}'\times\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta}'=\boldsymbol{\alpha}\times\boldsymbol{\beta}'$，从而$\boldsymbol{\gamma}'$垂直于$\boldsymbol{\alpha}$，从而$\boldsymbol{\gamma}'$平行于$\boldsymbol{\beta}$
不妨令

$$\boldsymbol{\gamma}'=-\tau \boldsymbol{\beta}$$

title:
设曲线$C$不是直线，则它是平面曲线当且仅当挠率为0

根据曲率、挠率和Frenet标架定义，已经有

$$\begin{align} \mathbf{r}'(s) & =\alpha(s) \\ \boldsymbol{\alpha}'(s) & =\kappa(s)\boldsymbol{\beta}(s) \\ \boldsymbol{\gamma}'(s) & =-\tau(s)\boldsymbol{\beta}(s) \end{align}$$

下面我们可以利用坐标架的正交归一性写出$\boldsymbol{\beta}'(s)$：不妨设$\boldsymbol{\beta}(s)= a\boldsymbol{\alpha}(s)+b\boldsymbol{\beta}(s)+c\boldsymbol{\gamma}(s)$，则

$$a=\boldsymbol{\beta}'\cdot\alpha=-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\alpha}'=-\kappa$$

同理$b=0,c=\tau$，即

$$\boldsymbol{\beta}'=-\kappa\alpha(s)+\tau\boldsymbol{\gamma}(s)$$

合起来即得到

$$\begin{align} \mathbf{r}'(s) & = \alpha(s) \\ \boldsymbol{\alpha}'(s) & = & \kappa(s)\boldsymbol{\beta}(s) \\ \boldsymbol{\beta}'(s) & = -\kappa(s)\alpha(s) & & +\tau(s)\boldsymbol{\gamma}(s) \\ \boldsymbol{\gamma}'(s) & = & -\tau(s)\boldsymbol{\beta}(s) \\ \end{align}$$

或者用矩阵表示：

$$\left(\begin{matrix} \boldsymbol{\alpha}' \\ \boldsymbol{\beta}' \\ \boldsymbol{\gamma}' \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\ 0 & -\tau(s) & 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \boldsymbol{\alpha} \\ \boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\gamma} \end{matrix}\right)$$

上述公式中系数矩阵反对称，这不是该坐标架特有的，沿曲线定义的任意正交归一坐标架场的导数的系数矩阵都是反对称的。

曲线挠率的计算：

$$\tau(t) = \frac{\left(r'(t),r''(t),r'''(t)\right)}{|r'(t)\times r''(t)|^{2}}$$

如果$t=s$，

$$\tau(s) = \frac{ (r'(s),r''(s),r'''(s))}{|r''(s)|^{2}}$$

从而一条曲线是平面曲线的充要条件为

$$(r',r'',r'')\equiv 0$$

曲线论基本定理

设$\kappa(s),\tau(s)$是在区间上任意两个给定的连续可微函数，且$\kappa(s)>0$，则在空间$E^{3}$上存在正则参数曲线$\mathbf{r}=\mathbf{r}(s),a\leq s\leq b$，使得曲线的曲率和挠率为$\kappa(s),\tau(s)$，这样的曲线在$E^{3}$中是完全确定的，其差异至多为曲线在空间中的位置不同。

设$a_{ij}(s)$为Fresnet公式的系数矩阵，

$$\begin{align} \frac{d\mathbf{r}}{ds } & = e_{1} \\ \frac{de_{i}}{ds} & = \sum_{i=1}^{3}a_{ij}(s)e_{j} \end{align}$$

给定初值$r^{0},e^{0}_{i}(i=1,2,3)$，可以有唯一一组解。我们必须要求初值$r^{0},e^{0}_{1},e^{0}_{2},e^{0}_{3}$构成右手的单位正交坐标架，则

$$\begin{align} e^{0}_{i}\cdot e^{0}_{j}=\delta_{ij} \\ (e^{0}_{1},e^{0}_{2},e^{0}_{3})=1 \end{align}$$

设$g_{ij}(s) = e_{i}(s)\cdot e_{j}(s)-\delta_{ij}$
则对其求导，代入Fresnet公式，由于$a_{ij}$矩阵反称，得到

$$\begin{align} \frac{dg_{ij}(s)}{ds} & = \sum_{k}a_{ik}e_{k}(s)\cdot e_{j}(s) + e_{i}(s)\cdot \sum_{k}a_{jk}(s)e_{k}(s) \\ & =\sum_{k}\left(a_{ik} g_{kj}(s) + a_{jk}g_{ik}(s)\right) \\ \frac{d\mathbf{g}}{ds} & = A\mathbf{g}+\mathbf{g}A =\left\{A,\mathbf{g}\right\} \end{align}$$

这是线性方程组，在初值条件下解唯一，从而$g_{ij}$只能是平凡解，即

$$g_{ij}(s)\equiv0$$

曲率和挠率均为常数的曲线的参数方程为螺旋线：

$$\begin{align} x & =\frac{\kappa_{0}}{\kappa_{0}^{2}+\tau_{0}^{2}}\cos t \\ y & = \frac{\kappa_{0}}{\kappa_{0}^{2}+\tau_{0}^{2}}\sin t \\ z & = \frac{\tau_{0}}{\kappa_{0}^{2}+\tau_{0}^{2}}t \end{align}$$

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