在$E^{3}$中取定一个右手单位正交坐标架$\{O;i,j,k\}$， 任意$E^{3}$中的右手标架$\{p;e_{1},e_{2},e_{3}\}$都可以表示成

$$\left(\begin{matrix} \vec{OP}\\ e_{1}\\ e_{2}\\ e_{3}\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_{1}&a_{2} &a_{3} \\ a_{11}& a_{12} &a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32} &a_{33} \\ \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} i\\ j\\ k\\ \end{matrix}\right)$$

$\vec{b}_{i}=\vec{i},\vec{j},\vec{k};i=1,2,3$；如果$A=(a_{ij})$，且为单位正交标架，$A^TA=I$；如果是右手的，则$\det A>0$

现考虑标架的无限小位移, $d\vec{e}_{i}=da_{ij}\vec{b}_{j}$, $d\vec{OP}=da_{i}\vec{b}_{i}$

可以用$\vec{e}_{i}$来表示$\vec{b}_{i}$: $\vec{b}_{i}=\left(A^{-1}\right)_{ij}\vec{e}_{j}$，代入：

$$\begin{align} d \vec{Op}=da_{i} (A^{-1})_{ij} \vec{e}_{j} =\Omega ^{i}\vec{e}_{i}\\ d\vec{e}_{i} = da_{ij} (A^{-1})_{jk} \vec{e}_{k} = \Omega ^{j}_{i}\vec{e}_{j} \end{align}$$

利用$A^T=A^{-1}$得到：

$$\Omega ^{i}=da_{j}(A^{-1})_{ji}=da_{j}a_{ij}, \qquad \Omega ^{j}_{i} = da_{ik} (A^{-1})_{kj}= \left(da_{ik}\right)a_{jk}$$

同时$\Omega_{i}^{j}=-\Omega_{j}^{i}$。因此欧氏空间上的单位正交活动标架的相对分量只有六个：$\Omega ^{i},i=1,2,3;\qquad\Omega_{i}^{j},i<j$

\fcolorbox{blue}{}{Theorem 3.1}(结构方程): 欧式空间上的活动标架的相对分量满足：

$$d\Omega ^{j} = \sum_{k} \Omega ^{k}\wedge \Omega_{k}^{j}, \qquad d\Omega_{i}^{j} = \sum_{k} \Omega_{i}^{k} \wedge \Omega_{k}^{j}$$

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