自然标架：对于$\vec{r}=\vec{r}(u,v)$本质上是$D\subseteq E^2$到$E^{3}$子集的一个一一映射，且三阶以上连续可微。可以定义自然标架场

$$\vec{r}_{u}=\frac{ \partial \vec{r} }{ \partial u } ,\vec{r}_{v}=\frac{ \partial \vec{r} }{ \partial v } ,\vec{n} = \frac{\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}}{|\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}|}$$

其中$n$是法向量，法向量在可定向曲面下不变，当参数变换保持定向，单位法向量的指向也是不变的；当参数变换反转定向，单位法向量反转指向。

切向量：曲面上经过p的任意一条连续可微曲线的切向量为该曲面的切向量。切空间为全部切向量构成的线性空间。

一个点在曲面上的切空间为$T_{p}S=\text{span}(\vec{r}_{u},\vec{r}_{v})$。可以证明在参数变换下切空间是不变的，因为向量之间有线性依赖关系：

$$\begin{align} \left(\begin{matrix} \vec{r}_{u} \\ \vec{r}_{v} \end{matrix}\right) & = \frac{ \partial (u',v') }{ \partial \left(u,v\right) } \left(\begin{matrix} \vec{r}_{u'} \\ \vec{r}_{v'} \end{matrix}\right) \end{align}$$

曲面不退化要求$\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}\neq \vec 0$，这等价于分量中一个jacobi行列式非零，因为

$$\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v} = \left\lvert \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{ \partial x }{ \partial u } & \frac{ \partial y }{ \partial u } & \frac{ \partial z }{ \partial u } \\ \frac{ \partial x }{ \partial v } & \frac{ \partial y }{ \partial v } & \frac{ \partial z }{ \partial v } \end{matrix} \right\rvert =\hat{x} \left| \frac{ \partial (y,z) }{ \partial \left(u,v\right) } \right| + \dots$$

不妨假设z分量非零。从而矩阵$\frac{ \partial (x,y) }{ \partial (u,v) }$非退化，根据反函数存在性定理，在$p$点局域存在逆映射

$$\begin{align} u=u(x,y) \\ v=v(x,y) \end{align}$$

使得

$$\begin{align} x(u(x,y),v(x,y))\equiv x \\ y(u(x,y),v(x,y))\equiv y \end{align}$$

曲面可以写成$z=z(x,y)$

参数方程的微分：$d\vec{r}=\vec{r}_{u}du+\vec{r}_{v}dv$，$du,dv$是切空间上的函数。

note: "分量"="函数"，定义$\vec{w}=w^i\vec{e}_{i}$，$f^i:V\to \mathbb{R}$为$\vec{w}$第$i$基底上的分量的值，

$$f^{i}(\vec{w})= w^i$$

不难证明$f^{i}$的线性性，以及$\vec{w}=f^{i}(\vec{w})\vec{e}_{i}$。在此同理，$du,dv$的存在定义了$T_{p}S$上的两个函数，他们在切向量上$\mathbf{X}$的值为该切向量在该自然基底下分量的值：

$$du(\vec{X})=X^{1},dv(\vec{X})=X^{2}$$

可展曲面
一般的直纹面可以写作$\vec{r}= \vec{a}(u)+v\vec{l}(u)$，特殊情况有

• 柱面：$\vec{r}= \vec{a}(u)+ v\vec{l}$
• 锥面：$\vec{r}=\vec{a}+v\vec{l}(u)$
• 切线面：$\vec{r}=\vec{a}(u)+v\vec{a}'(u)$
  这些曲面的特征是，点沿着母线变化时切面不发生变化。

title:可展曲面
设$S$是直纹面，如果曲面$S$的切平面沿着每一条直母线都是不变的，则称该直纹面为**可展曲面**。

title: 直纹面为可展曲面的充要条件
对直纹面$\vec{r}=\vec{a}(u)+v\vec{l}(u)$，可展的充要条件为如下混合积的值为0：
$$
(\vec{a}'(u),\vec{l}'(u),\vec{l}(u))=0
$$

同时，可展曲面在局部上是柱面、锥面和一条空间曲线的切线面，或任何以三种曲面以充分连续可微的方式沿着直母线拼接的结果。

title:
可展曲面和平面在局部上可以建立保长对应

title:包络面
设$\{S_{\alpha}\}$为依赖参数$\alpha$的一族正则曲面，如果有一个正则曲面$S$，使得$S$上每点必定是曲面族$\{S_{\alpha}\}$的某个曲面上的一点，且二者在该点切面相同，同时$\{S_{\alpha}\}$中每个成员必定和$S$在某一点有相同切面，则$S$为单参曲面族$\{S_{\alpha}\}$的包络。

曲面族方程若为$f(x,y,x,\alpha)=0$，则包络面满足

$$f_{\alpha}(x,y,z,\alpha)=0,f(x,y,z,\alpha)=0$$

消去$\alpha$即得到包络面方程$\Phi(x,y,z)=0$

曲面形式

第一形式：表示微分向量与自身的内积，即长度的平方：

$$\mathrm{I}=d\vec{r}\cdot d\vec{r}=(\vec{r}_{u}du+\vec{r}_vdv)^{2}=E(du)^{2}+2F(dudv)+G\left(dv\right)^{2}$$

其中$E=\vec{r}_{u}\cdot \vec{r}_{u},F=\vec{r}_{v}\cdot \vec{r}_{u},G=\vec{r}_{v}\cdot \vec{r}_{v}$

第一形式表示曲面的内禀特性，比如对于圆柱面，圆柱面可以展开为平面，所以第一形式可以化建立保长对应。

title:切映射
假设$\sigma:S_{1}\to S_{2}$是三次以上连续可微的，则在每点$p\in S_{1}$存在一个诱导切空间的映射$\sigma_{*p}:T_{p}S_{1}\to T_{\sigma(p)}S_{2}$，称为映射$\sigma$在点p上的诱导切映射。
映射$\sigma$表示为
$$
u_{2}(u_{1},v_{1}),v_{2}(u_{1},v_{1})
$$
则$\sigma_{*p}$表示为
$$
\sigma_{*p}(c_{1}\vec{r_{1}}_{u_{1}}+c_{2}\vec{r_{1}}_{v_{1}})=(c_{1},c_{2})\left(\begin{matrix}
\frac{ \partial u_{2} }{ \partial u_{1} }  & \frac{ \partial v_{2} }{ \partial u_{1} }  \\
\frac{ \partial u_{2} }{ \partial v_{1} }  & \frac{ \partial v_{2} }{ \partial v_{1} } 
\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}
\frac{ \partial \vec{r}_{2} }{ \partial u_{2} }  \\
\frac{ \partial  \vec{r}_{2} }{ \partial v_{2} } 
\end{matrix}\right)
$$

切映射是非退化的，当且仅当雅可比矩阵$\det J\neq 0$。在$p,\sigma_{*p}$的足够小的邻域内，存在一组坐标系$(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})$使得二者具有相同的参数对应：$u_{1}=u_{2},v_{1}=v_{2}$，即映射$\sigma|_{U_{1}}$是由$u_{1}=u_{2},v_{1}=v_{2}$给出的。

证明：把$u_{2},v_{2}$作为$u_{1},v_{1}$的函数看作曲面的参数变换$\sigma'$：$S_{1}\to S_{1}$，完成参数变换后二者自然有相同参数对应。

$S_{1}\to S_{2}$的映射$\sigma$可以诱导出从$S_{2}$拉回$S_{1}$上的二次微分式之间的映射$\sigma^*$

title:保长对应
当$\sigma_{*p}$保持任何切向量长度不变时称$\sigma$围曲面间的保长对应:
$$
|\sigma_{*p}(\vec{X})|=|\vec{X}|
$$

容易得到保长对应的充要条件为$\sigma^*\mathrm{I}_{2}=\mathrm{I}_{1}$，其中$\mathrm{I}_{1},\mathrm{I}_{2}$为曲面$S_{1},S_{2}$的第一基本形式

title:保角对应
曲面之间的映射$\sigma$是保角对应，当且仅当对任意$X,Y\in T_{p}S_{1}$都有
$$
\angle(\sigma_{*p}(\vec{X}),\sigma_{*p}(\vec{Y}))=\angle (\vec{X},\vec{Y})
$$

充要条件为$\sigma^*\mathrm{I}_{2}=\lambda ^{2}\mathrm{I}_{1}$,或者说，在两个曲面上能取得适当坐标系，使得在坐标系下第一类基本量$E,F,G$成比例。

title:
任意一个参数曲面$S$的每点p都存在一个邻域可以和平面的一个开区域建立保角对应，即，任意两个正则参数曲面可以在局部建立保角对应。

title:证明
可以假定$u,v$为正交参数，即$F(u,v)=0$，曲面第一基本形式成为
$$
I=E(du)^{2}+F(dv)^{2}=(\sqrt{ E }du+i\sqrt{ G }dv)(\sqrt{ E }du-i\sqrt{ G }dv)
$$
令$\omega=\sqrt{ E }du+i\sqrt{ G }dv$，则在每点$p$邻域内存在复解析函数$\lambda(u,v)$使得$\lambda(u,v)\omega$为全微分：
$$
\lambda(u,v)(\sqrt{ E }du+i\sqrt{ G }dv)\equiv dz(u,v)\equiv x(u,v)+iy(u,v)
$$
则
$$
I=\bar{\omega}\omega=\frac{1}{|\lambda|^{2}}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)
$$
从而该邻域与平面是保角的，对应由$x=x(u,v),y=y(u,v)$给出。

能使曲面上第一基本形式成为如上形式的坐标系为等温参数系。

第二形式：表示曲面上位置变动一个小量之后，与原来点处切平面之间的距离，这个值的最高阶量由二阶导数与法向量乘积给出：

$$\mathrm{II} = d^{2}\vec{r}\cdot \vec{n}$$

由于$d\vec{r}$是切向量，垂直于法向量，所以$d\vec{r}\cdot \vec{n}=0$
对上式求微分，得到第二形式的另一种形式：

$$\mathrm{II}=d^{2}\vec{r}\cdot \vec{n}=-d\vec{r}\cdot d\vec{n}$$

第二形式表示曲面的外在特性，例如尽管圆柱面可以展开为平面，但二者的第二形式是不同的：平面$\mathrm{II}=0$，柱面$\mathrm{II}=dv^{2}$，其中$v$表示沿着截面方向的变量。这反映了他们的外观形状不同。

二者比值

$$\kappa _{n}=\frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}}=\frac{L(du)^{2}+2Mdudv+N(dv)^{2}}{E(du)^{2}+2Fdudv+G(dv)^{2}}$$

为曲面沿着切方向$(du,dv)$的法曲率。

首先我们看曲面上一点，方向固定时，不同曲线的曲率和$\kappa_{n}$有什么关系：
假设曲面上有条曲线$u(t),v(t)$经过点$p$且切方向恰好为$du,dv$，则该曲线曲率和法曲率之间存在关系。
首先$\vec{\alpha}=\frac{d\vec{r}}{ds}=\vec{r}_{u} \frac{du}{ds}+\vec{r}_{v} \frac{dv}{ds}$
曲率向量

$$\kappa \vec{\beta}=\frac{d\vec{\alpha}}{ds}= \vec{r}_{uu}\left( \frac{du}{ds} \right)^{2}+2\vec{r}_{uv} \frac{du}{ds} \frac{dv}{ds} + \vec{r}_{vv} \left( \frac{dv}{ds} \right)^{2} + \vec{r}_{u} \frac{ \mathrm d^2 u }{ \mathrm d s^2 } + \vec{r}_{v} \frac{ \mathrm d^2 v }{ \mathrm d s^2 }$$

在法向量上正交投影为（注意到$d\vec{r}\cdot \vec{n}=0$，后两项消掉）

$$\kappa_{n}=\kappa(\vec{\beta}\cdot \vec{n})= \mathrm{II}$$

因此$\kappa_{n}$满足$\kappa_{n}=\kappa \cos\theta$，其中$\theta=\angle(\vec{n},\vec{\beta})$。

我们再看曲面上一点，方向不固定时，法曲率如何变化。注意到$\kappa_{n}$是方向$(du,dv)$的二次齐次式之比，因此$\kappa_{n}$可以写成方向角的函数。

title:
正则参数曲面在任意固定点，法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取最大值和最小值。法曲率总可以写成方向角的如下函数：
$$
\kappa_{n}(\theta)=\kappa_{1}\cos ^{2}(\theta -\theta_{0})+ \kappa_{2} \sin ^{2}(\theta-\theta_{0})
$$
其中$\kappa_{1},\kappa_{2}$为主曲率，对应方向称为主方向。

Weingarten映射与主曲率。

将每点的法向量映射到单位球上，就构成了一个可微映射$S\to \Sigma=\mathrm{S}^{2}$，使得

$$g(\vec{r}(u,v))=\vec{n}(u,v)$$

称为高斯映射。该映射诱导了切映射$g_{*}:T_{p}S\to T_{g\left(p\right)}\Sigma$，

$$g_{*}(\vec{r}_{u})=\vec{n}_{u},g_{*}(\vec{r}_{v})=\vec{n}_{v}$$

由于$\vec{n}_{u},\vec{n}_{v}$都垂直于$\vec{n}$，因此可以视作$T_{p}S$中的元素，从而$g_{*}$成为$T_{p}S\to T_{p}S$的线性映射，即

$$W=-g_{*}:T_{p}S\to T_{p}S$$

称为Weingarten映射。

title:3.1
曲面$S$的第二基本形式可以写作
$$
\mathrm{II}=W(d\vec{r})\cdot d\vec{r}
$$

$$
W(d\vec{r})=-d\vec{n}
$$

title:3.2
Weingarten映射是自共轭的映射，即对任意$d\vec{r},\delta \vec{r}\in T_{p}S$，有
$$
W(d\vec{r})\cdot\delta \vec{r}=d\vec{r}\cdot W(\delta \vec{r})
$$

从而Weingarten映射具有实特征值（也是特征方向的法曲率），其特征向量恰好为法曲率的特征方向。

脐点：当特征值有简并时特征方向不确定（在一个特征子空间内任取），这种点称为曲面的脐点。进一步地，还可以根据特征值是否为0分为平点和圆点。

曲率线：曲线上每点都对应曲面在该点的主方向，则曲线为曲面的曲率线。

主方向和主曲率的计算：假设有$\lambda$满足$W(\delta \vec{r})=\lambda\delta \vec{r}$，则

$$\begin{align} L\delta u+M\delta v & =\lambda(E\delta u+F\delta v) \\ M\delta u+N\delta v & =\lambda(F\delta u+G\delta v) \end{align}$$

即

$$\det\left(\begin{matrix} L-\lambda E & M-\lambda F \\ M-\lambda F & N-\lambda G \end{matrix}\right) = 0$$

化简为$\lambda ^{2}-2H\lambda+K=0$，此时$H= \frac{1}{2}(\kappa_{1}+\kappa_{2})$称作平均曲率，$K=\kappa_{1}\kappa_{2}$为高斯曲率或总曲率。

Gauss曲率的几何意义：设$W$在$\vec{r}_{u},\vec{r}_{v}$基底下的矩阵为

$$W=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right)$$

从而

$$\left(\begin{matrix} -\vec{n}_{u} \\ -\vec{n}_{v} \end{matrix}\right) = W \left(\begin{matrix} \vec{r}_{u} \\ \vec{r}_{v} \end{matrix}\right)$$

分别与$\vec{r}_{u},\vec{r}_{v}$内积:

$$\left(\begin{matrix} -\vec{n}_{u} \\ -\vec{n}_{v} \end{matrix}\right) \cdot (\vec{r}_{u},\vec{r}_{v}) = W \left(\begin{matrix} \vec{r}_{u} \\ \vec{r}_{v} \end{matrix}\right) \cdot(\vec{r}_{u},\vec{r}_{v})$$

$$\left(\begin{matrix} L & M \\ M & N \end{matrix}\right) = W \left(\begin{matrix} E & F \\ F & G \end{matrix}\right)$$

从中可求解$W$。线性变换的行列式是线性变换的不变量，从而根据$|\lambda I-W|=\lambda ^{2}-2H\lambda+K$

$$2H=\mathrm{Tr}W,K=\det W$$

于是

$$\vec{n}_{u}\times \vec{n}_{v}= \left(\det W\right) \vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v} = K \vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}$$

因此

$$|\vec{n}_{u}\times \vec{n}_{v}| = |K| |\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}|$$

从而在Weingarten映射下，$\mathrm{S}^{2}$上的面积元$d\sigma_{0}=|\vec{n}_{u}\times \vec{n}_{v}|dudv$和原面积元$d\sigma=|\vec{r}_{u}\times \vec{r}_{v}|dudv$的关系为

$$d\sigma_{0}= |K| d\sigma$$

如果$D$是曲面$S$上绕点$p$的一个邻域，用$g(D)$表示它在高斯映射下的像，则$g(D)$的面积为

$$A(g(D))=\int \, d\sigma_{0} =\int _{D}\left| K \right| \, d\sigma$$

利用重积分中值定理，让区域$D$收缩到一点$p$，

$$|K(p)| = \lim_{ D \to p } \frac{A(g(D))}{A(D)}$$

如果用$\mathrm{I}_{0}$表示球面上的第一基本形式，则通过高斯映射$g:S\to\Sigma$拉回得到的形式为第三基本形式：

$$\mathrm{III}=g^*\mathrm{I_{0}}=e(du)^{2}+2fdudv+g(dv)^{2}$$

可以证明第三基本形式不是新的不变量，因为三个基本形式满足等式

$$\mathrm{III}-2H\mathrm{II}+K\mathrm{I}=0$$

title:一些理解
把点积写作矩阵转置x矩阵的形式，于是
$$
\begin{align}
\mathrm{III} & =d\vec{r}^TW^TWd\vec{r}=d\vec{r}^TW^{2}d\vec{r} \\
\mathrm{II} & =d\vec{r}^T W d\vec{r}  \\
\mathrm{I}  & = d\vec{r}^T d\vec{r}
\end{align}
$$

其中已经用到了$W$是自共轭的，从而在一个基底下的表示是对称实矩阵，$W^T=W$，进而可以正交对角化: $W= U diag\{\lambda_{1},\lambda_{2}\}U^T$

从而上式等价于
$$
d\vec{r}^T(W^{2}-2HW+KI)d\vec{r}=0
$$

代入$W$和H,K的定义即可，$W^{2}-2\cdot \frac{\lambda_{1}+{\lambda_{2}}}{2}W + \lambda_{1}\lambda_{2}I=0$，显然成立。

特殊曲面：

伪球面：Gauss曲率为负常数
平均曲率为0：极小曲面，旋转极小曲面如悬链面：

$$\vec{r}=\left(a\cosh \frac{r}{a}\cos\theta,a\sinh \frac{r}{a}\sin\theta, r\right)$$

平均曲率为非零常数：如球面和圆柱面，寻找平均曲率非零常数的非球面闭曲面？

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