曲面标架运动方程

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{ \partial \vec{r}_{\alpha} }{ \partial u^{\beta} } = \Gamma^\gamma_{\alpha\beta} \vec{r}_{\gamma}+ b_{\alpha\beta}\vec{n} \\ \displaystyle \frac{ \partial \vec{n} }{ \partial u^{\beta} } = -b^{\gamma}_{\beta} \vec{r}_{\gamma} \end{cases}$$

两个式子中$g^{\gamma\alpha}b_{\alpha\beta}=b^{\gamma}_{\beta}$是同一个量，这可以通过推导确定。第二个公式是Weingarten映射的推广，$\vec{n}$的变化导数始终在切空间上，不包含法向量分量。

$$\begin{align} \frac{ \partial g_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\gamma} } = \frac{ \partial (\vec{r}_{\alpha}\cdot \vec{r}_{\beta}) }{ \partial u^{\gamma} } = \vec{r}_{\alpha\gamma}\cdot \vec{r}_{\beta} +\vec{r}_{\alpha}\cdot \vec{r}_{\gamma\beta} = \Gamma_{\beta\alpha\gamma}+\Gamma_{\alpha\beta\gamma} \end{align}$$

轮换相消得到Chritoffel记号是度规的一阶导和其本身决定的：

$$\Gamma ^{\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\gamma \xi}\left(\frac{ \partial g_{\alpha \xi} }{ \partial u^{\beta} } +\frac{ \partial g_{\xi\beta} }{ \partial u^{\alpha} }-\frac{ \partial g_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\xi} } \right)$$

由于求导次序和结果无关，我们要保证方程满足

$$\frac{ \partial^{2} \vec{r}_{\alpha} }{ \partial u^{\beta}\partial u^{\gamma} } = \frac{ \partial ^{2}\vec{r}_{\alpha} }{ \partial u^{\gamma}\partial u^{\beta} } , \qquad \frac{ \partial ^{2}\vec{n} }{ \partial u^{\beta}\partial u^{\gamma} } = \frac{ \partial ^{2}\vec{n} }{ \partial u^{\gamma} \partial u^{\beta} }$$

代入即得到

$$\begin{align} \frac{ \partial }{ \partial u^{\gamma} } \Gamma ^{\delta}_{\alpha\beta} - \frac{ \partial }{ \partial u^{\beta} } \Gamma ^{\delta}_{\alpha\gamma} + \Gamma ^{\eta}_{\alpha\beta}\Gamma ^{\delta}_{\eta\gamma}- \Gamma ^{\eta}_{\alpha\gamma}\Gamma ^{\delta}_{\eta\beta}-b_{\alpha\beta}b^{\delta}_{\gamma}+b_{\alpha\gamma}b^{\delta}_{\beta}=0 \\ \Gamma ^{\gamma}_{\alpha\beta}b_{\delta\gamma}-\Gamma ^{\delta}_{\alpha\gamma}b_{\delta\beta}+\frac{ \partial b_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\gamma} } -\frac{ \partial b_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\beta} } = 0 \end{align}$$

令黎曼记号为

$$R^{\delta}_{\alpha\beta\gamma} = \frac{ \partial }{ \partial u^{\gamma} } \Gamma ^{\delta}_{\alpha\beta} - \frac{ \partial }{ \partial u^{\beta} } \Gamma ^{\delta}_{\alpha\gamma} + \Gamma ^{\eta}_{\alpha\beta}\Gamma ^{\delta}_{\eta\gamma}- \Gamma ^{\eta}_{\alpha\gamma}\Gamma ^{\delta}_{\eta\beta}$$

它是只由第一类基本量构造的，不依赖$b_{\alpha\beta}$。规定升降时$\delta$插入$\alpha,\beta$之间。曲面满足的方程为

$$\begin{cases} \displaystyle R^{\delta}_{\alpha\beta\gamma} = b_{\alpha\beta}b^{\delta}_{\gamma}-b_{\alpha\gamma}b^{\delta}_{\beta} & \text{（高斯方程）} \\ \frac{ \partial b_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\gamma} } -\frac{ \partial b_{\alpha\beta} }{ \partial u^{\beta} } = \Gamma ^{\delta}_{\alpha\gamma }b_{\delta\beta}-\Gamma ^{\gamma}_{\alpha\beta}b_{\delta\gamma} &\text{（Codazzi方程）} \end{cases}$$

对称性质：

$$R_{\alpha\delta\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\alpha\delta}=-R_{\delta\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\delta\gamma\beta}$$

二位情况下只有一个方程：$R_{1212}=b_{11}b_{22}-b_{12}^{2}$

Gauss定理：由上式，左右同时除以$g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}$：

$$\frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}} = \frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}$$

左侧是曲面的高斯曲率：$K=\kappa_{1}\kappa_{2}$，从而曲面的高斯曲率只依赖于第一类基本量及其导数。第一类基本量在任意的保长变换下是不变的，从而高斯曲率也不变：

$$K=\frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}$$

Gauss Egregium Theorem: 高斯曲率在保长变换下是不变量。

于是$E^{3}$中一个无脐点曲面是可展曲面等价于它和一个平面可以建立保长对应，也等价于高斯曲率恒为0.

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